Gourdes personnalisées**

Nadia veut créer une entreprise pour vendre des gourdes en inox personnalisées pour les lycéens de son établissement. Elle souhaite promouvoir l’usage de bouteilles réutilisables pour limiter les déchets plastiques. Elle a évalué le coût de production de ses gourdes selon la fonction définie sur l’intervalle \([0 ;200]\) suivante : \(C(x)=0{,}5x^2−10x+180\) où `x` représente le nombre de gourdes produites.

Le prix de vente d’une gourde est fixé à 30 €. Il est modélisé par la fonction de recette : `V(x)=30x`.

Problématique : combien de gourdes Nadia doit-elle vendre pour obtenir un bénéfice maximal ?

1. Que représente la fonction \(C\) ? Que représente la variable \(x\) ?

2. Que représente la fonction \(V\) ?

3. Déterminer le coût de production pour 15 gourdes.

4. Déterminer le montant du chiffre d'affaires réalisé pour 15 gourdes.

5. En déduire le résultat pour 15 gourdes vendues. Préciser si Nadia a réalisé un bénéfice ou une perte.

6. On considère \(R(x)\) la fonction ``représentant le résultat réalisé par Nadia. Montrer que \(R(x)=-0{,}5x^2 +40x - 180\).

7. En utilisant la calculatrice NumWorks ou le logiciel GeoGebra, tracer la représentation graphique de la fonction \(R\).

8. À l'aide du graphique, résoudre l'inéquation \(R(x) > 0\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

9. D'après le graphique, la fonction \(R\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Préciser sa valeur. 

10. Répondre à la problématique.